Çokgen ve Çokgenlerin Özellikleri - Çözümlü Çokgen Soruları

Tanımlar:
Üçü bir doğru üzerinde olmayan üç ve üçten fazla noktaların ikişer ikişer oluşturdukları doğru parçalarının birleşimine, Çokgen denir.

Bir çokgenin iç bölgesindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tüm noktaları iç bölgede kalıyorsa, bu çokgene Dışbükey Çokgen, en az bir noktası dış bölgede kalıyorsa, bu sefer de İçbükey Çokgen denir.

1. n kenarlı bir çokgenin n tane köşesi vardır. Bu köşeleri ikişer ikişer birleştiren doğru parçaları kenar ve köşegen olacağından; C(n,2) - 2 n (n-3)
   formülünden ¾¾¾ bulunur.
   2
2. Bir köşeden (n-3) tane köşegen geçer. Bu köşegenler çokgeni (n-2) tane üçgen e ayırır. ( n kenar sayısı)
3. n kenar sayısı olmak üzere, iç açılar toplamı: (n-2) . 180° dir.
4. Dış açılar toplamı 360° dir.
5. n kenar sayısı olmak üzere, bir dışbükey çokgenin belirlenmesi için, (n-2) tanesi uzunluk ve (n-1) tanesi açı olmak üzere (2n-3) tane elemana ihtiyaç vardır.
6. n kenar sayısı olmak üzere,kenar sayısı 4'ten büyük dışbükey çokgenlerin kenarlarının uzatılmasıyla oluşan şekle Yıldızıl denir. Yıldızılın köşelerindeki açılar toplamı ise, (n-4) . 180° dir.

Tanım :
Tüm açıları (iç ve dış) ve kenarları eşit olan dışbükey çokgene Düzgün Çokgen denir.

1. (n-2) . 180°
   Bir iç açısı : ¾¾¾¾
   n
   
2. 360°
   Birdış açısı : ¾¾
   n
   
3. Çevresi : Bir kenar uzunluğu x Kenar sayısı
4. Bütün düzgün çokgenlerin 1 adet iç teğet çemberi ile 1 adet çevrel çemberi vardır. Merkezden kenarlar inilen dikmeye apotem (iç teğet çember yarıçapı) denir.

n . a . r Alan : ¾¾¾ 2

n : Kenar sayısı a : Bir kenar uzunluğu r : iç teğet çember yarıçapı

Ö R N E K L E R
Şekildeki K, L, M köşeleri bir düzgün çokgenin köşeleridir. m(A) = 90° ise, bu düzgün çokgenin köşegen sayısını bulunuz.	Düzgün çokgenin bir iç açısı x° olsun. m(AKL) = m(AML) = 180° - x° olur. m(KLM) = m(AKL) + m(KAM) + m(AML) old. = > x° = 180° - x° + 90° + 180° - x° = > x° = 130° bulunur. Dış açı :180°-130° =30° kenar sayısı : 360°/30°=12 köşegen sayısı : (12) . (12-3) / 2 = 54 bulunur.
n kenarlı bir dışbükey çokgen 19 eleman ile çizilebiliniyorsa (belirli ise); bu elemanlardan kenar sayılarının açı sayılarına oranı kaçtır?	n - 2 (kenar sayısı) 11 - 2 9 2n-3=19 = > ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ n - 1 (açı say.) 11 - 1 10
n kenarlı bir dışbükey çokgenin belirlenmesi için gerekli kenar sayının açı sayısına oranı 40 / 45 ise, bu çokgen kaç eleman ile belirlenebilir?	n - 2 40 ¾¾¾ = ¾¾¾ => 9n-18 = 8n-18 => n=10 => (2n-3) = n - 1 45 2.10-3 = 17 bulunur.
İç açıları toplamı 1980° olan dışbükey çokgenin; kaç köşegeni vardır? Bir köşeden geçen kaç köşegeni vardır?	(n-2) . 180° = 1980° => n-2 = 11 => n=13 13(13-3) C(13,2)-13 = ¾¾¾¾ = 65 köşegen 2 Bir köşeden kenar sayısının 3 eksiği kadar köşegen geçerse; (n-3 ) => (13-3) => 10 köşegen bulunur.
Şekilde K, L, M, N köşeleri belirli olan düzgün çokgenin, m(PKN) = 15° ise, bu düzgün çokgenin bir dış açısı kaç derecedir ?	PN = PK ve NM = ML = LK olduğundan, şekilde görüldüğü gibi açı hesaplamaları yapılarak bir iç açısı 150° bulunur. Bir dış açısı ise; 180°-150° = 30° bulunur.

Tanım:

Dört kenarlı çokgenlere DÖRTGEN denir. yan tarafta dışbükey ve içbükey dörtgenlerin iç bölgeleri ile kenar ve köşegenleri gösterilmiştir.

Dışbükey Dörtgenlerle İlgili Teorem ve Sonuçları( Kitabımın ikinci bölümünde ispatlara yer verilmiştir.)

T E O R E M L E R ve S O N U Ç L A R I
Şekildeki Herhangi bir ABCD dörtgeninde karşılıklı iki açı ölçüleri 90° ise; dik kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir.
Şekildeki Herhangi bir ABCD dörtgeninde köşegenler birbirine dik ise; karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.
Şekildeki Herhangi bir ABCD dörtgeninde kenar uzunluklarının kareleri toplamı, köşegen uzunluklarının kareleri ile köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunun karesinin dört katının toplamına eşittir.
Herhangi bir ABCD dörtgeninde karşılıklı iki iç açıortaylar arasındaki dar açısının ölçüsünün iki katı, diğer iki açının farkının mutlak değerine eşittir.
Herhangi bir ABCD dörtgeninde komşu iki açının (bir kenarının iki ucundaki) açıortaylarının arasındaki açının iki katı, diğer iki açının toplamına eşittir.

Ö R N E K L E R
Şekildeki ABCD dörtgeninde, [BP] ve [CP] açıortaylar D, A açıları ile ilgili olarak m(D) = 3.m(A) varsa ve m(P) = 100° ise; x açısı kaç derecedir ?	m(A) + m(D) = 2 . 100° => (k+3k)/2 = 100° => k=50° => x = 180°-k = 180°-50° = 130° bulunur.
Şekildeki ABC üçgeninde, [BP] ve [EP] açıortaylar m(P) = 160° m(DEA) = 40° ise; m(PBD) açısı kaç derecedir ?	m(A) + m(D) = 2 . 100° => (k+3k)/2 = 100° => k=50° => x = 180°-k = 180°-50° = 130° bulunur.
Şekildeki ABCD dörtgeninde, D, A, C açıları ile ilgili olarak m(D) = m(A) = m(C) = 90° ED = 26cm AD = 24cm BC = 36cm ise; EB+DC toplamı kaç cm dir ?	m(A) + m(D) = 2 . 100° => (k+3k)/2 = 100° => k=50° => x = 180°-k = 180°-50° = 130° bulunur.

Düzgün Çokgenin Özellikleri

Dışbükey Çokgenin Özellikleri