Kümelerle ilgili örnek alıştırmalar - Kümelerde Kesişim

Tanım: Herhangi cins ve çeşitten oluşan iyi tanımlanmış bir nesneler topluluğudur.

Kümelerin Gösterilişi:

Liste Yöntemi: Küme elemanlarının {....} parantez içerisine 1'er tane olmak üzere yazılış sırası önemli olmadan yazılma şeklidir.

Ortak Özelik Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarını yazmadan, A = { x| p(x) } şeklinde göstermektir.

Venn Şeması: Küme elemanlarını kapalı bir şekil (çember, dikdörtgen vs. ) içersinde yazmaya 'VENN şeması ile gösterim' denir.

ÖRNEKLER

• A = {2,3,4,5,6,7,8} kümesi liste yöntemi ile yazılmıştır. s(A) = 6 (eleman sayısı altı dır.)
• B = {x,{x,y},{z},y,{y,z},t} kümesi de liste yöntemi ile yazılmıştır. s(B) = 6 dır. {z} , B'nin elemanı olup "z" B'nin elemanı değildir.
• A = {z| 0<z<10 , z asal sayı} ortak özelik yöntemiyle yazılmış olup, 0 ile 10 arasındaki asal sayılar kümesidir. A = {2,3,5,7} şeklinde de "liste yöntemi" ne göre de yazılır.

Denk Kümeler: Elemanları (1-1) eşlenebilen kümeler olup, eleman sayıları eşittir. A={1,2,3,4} ve B={a,b,c,d} ise; s(A)=s(B)=4 olup A ile B kümeleri Denk Kümeler dir.

Eşit Kümeler: Elemanları aynı olan kümelerdir. A={a,b,c} , B={a,b,c} ise, A = B yazılır.

Ayrık Kümeler: Ortak elemanları olmayan kümelerdir. A={1,2,3} ve B={a,b,c,d} kümeleri Ayrık kümelerdir.

Alt Kümeler: Bir kümenin tüm elemanları bir başka kümenin elemanları ise, bu kümeye diğer kümenin Alt kümesi denir.

Örnek : A={1,2,3} kümesinin Alt kümeleri ve Öz alt kümelerini bulunuz.

{} ; {1} , {2} , {3} ; {1,2} , {1,3} , {2,3} ; {1,2,3}

İlk yedi küme hem alt küme hem de öz alt küme olup son küme yani kendisi alt kümedir.

"n" elemanlı bir kümenin "r" elemanlı alt küme sayısı: Aşağıda verilen formülle hesaplanır.

Uyarı : C(n,p) = C(n,k) ise; n = p+k dır.

Örnek: Beş elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

C(5,0) + C(5,1) + C(5,2) = 1 + 5 + 10 = 16 bulunur.

Kümelerde Kesişim, Birleşim ve Fark

Yandaki şekilde anlaşılacağı üzere, E={x,y,z,t} A={x,y} B={y,z}verildiğinde; AUB={x,y,z} olur. A ve B'nin kesişim kümesi "y" ve fark kümeleri sırasıyla AB={x} ve BA={z} dir. "t" elemanı ise (AUB)' kümesine yani E (AUB) kümesine aittir.

 

Ö R N E K L E R

• E ={a,b,c,d,e} A ={a,b,d} B ={b,d,e} kümeleri verildiğine göre; B' - A' fark kümesi nedir? (A' ve B' kümeleri sırasıyla A ve B kümelerinin tümleyenleridir.)

  B' = { a , c } A' = { e , c } olduğuna göre, b' - A' = { a } olur. bize sorulan, B' kümesinde olup da A' kümesinde olmayan elemandır.

• Alt kümeleri ile Öz alt kümeleri toplamları 127 olan kümenin dört elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

  Alt küme + Öz alt küme = 127     =>     Alt küme + Alt küme - 1 = 127     =>     2 . Alt küme = 128    =>    Alt küme = 64

  2ⁿ = 64 =>     n = 6     =>     (A) = 6 bulunur.    4 elemanlı alt küme sayısı     =>    C(6,4)= 6! / 4!.2!     =>    = 15     bulunur.

• 1 den 159'a kadar (159 dahil) doğal sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile bölünebilir?

  53 + 31 - 10 = 74 demek ki    74    tane   3 veya 5   ile bölünebilen sayı olduğu görülür.

• 42 kişilik bir kafilede 25 kişi Almanca, 16 kişi Türkçe dillerini bilmemekte ve 6 kişi de her iki dili bilmektedir.  Kafilede her iki dili de bilmeyen kaç kişi vardır?
  
  

  x + y + z + 6 = 42         x + y + z = 36         y + z = 25             x + z = 16         x + y + z + z = 41       36 + z = 41       z = 5 bulunur.