Permütasyon - kombinasyon - Binom

Saymanın Temel İlkesi

Ard arda gelen k tane olaydan birincisi m₁ farklı şekilde, ikincisi m₂ farklı şekilde, , , , , n incisi m_n farklı şekilde meydana gelebiliyor ise, bu olayların tümü; m₁ . m₂ . . . . . . . . m_n farklı biçimde meydana gelebilir.

Ö R N E K

• A 'dan B 'ye : 2 yol
  B 'den C 'ye : 3 yol
  C 'den D 'ye : 1 yol
  x bbbbbbbbbbbbbbbb x
  ¾¾¾¾¾¾bbbbbb¾¾¾
  A 'dan D 'ye bbbbbb 2 x 3 x 1 = 6 değişik yol ( gidiş )
  bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb6 değişik yol ( dönüş )
  bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb x
  bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb¾¾¾¾¾¾¾¾
  bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb 36 yol (gidiş-dönüş)
  
  
• Dönüşte aynı yol kullanılmayacaksa, C 'den D 'ye "1" yol bulunduğundan, dönüş yapılamayacaktır. Eğer C « D arası 1'den fazla
  örneğin 2 yol olsaydı;
  gidiş 2 x 3 x 2 = 12 yol olacaktı
  dönüş ® D 'den C 'ye ® 2 - 1 = 1 yol
  bbbbbbb C 'den B 'ye ® 3 - 1 = 2 yol
  bbbbbbb B 'den A 'ya ® 2 - 1 = 1 yol
  
  Toplam Olarak : 12 x (1 x 2 x 1 ) = 24 değişik gidiş-dönüş olacaktı.

Ö R N E K
bbbbbbbEkip başı : 10 değişik şekilde seçilir.
bbbbbbbYardımcısı : 10 - 1 değişik şekilde seçilir.
bbbbbbbSonuç : ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
bbbbbbb bbbbbbb 10x9 = 90 değişik şekilde seçilir.

Ö R N E K

• 5 x 5 x 4 = 100 tane sayı yazılır

  yüzler

  onlar

  birler

  5 tane "0" hariç

  5 tane

  4 tane

  
  
  
  
  
• 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb Toplam 16 + 16 + 16 = 48 tane sayı yazılabilir.
  

  yüzler

  onlar

  birler

  4 tane "0" hariç

  4 tane

  (bir) olması

  
  

  4 tane "0" hariç

  4 tane

  (üç) olması

  
  

  4 tane "0" hariç

  4 tane

  (beş) olması

  
  

  Pratik yol:

• 5 x 4 x 1 = 20 tane bbbbb 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb Toplam 20 + 16 + 16 = 52
• 2 x 5 x 4 = 40 tane 300'den küçük sayı yazılır
• 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb 3 x 4 x 1 = 12 tane bbbbb 3 x 4 x 1 = 12 tane bbbbb
• 5 x 4 x 1 = 20 tane bbbbb 4 x 4 x 1 = 16 tane bbbbb
• 3 x 1 x 1 = 3 tane bbbbb 4 x 1 x 1 = 4 tane bbbbb Toplam 3 + 4 = 7
• İstenen sayı adedi = Tüm sayı adedi - Rakamları Farklı Sayı Adedi - Üç Rakamı Aynı Olan Sayı Adedi

Permütasyon

n elemanlı bir kümenin farklı k tane elemandan oluşan sıralı k ' lılarına, n elemanlı bir kümenin farklı k ' lı (sıralanışı/dizilişi) Permütasyonu denir.

bbbbbbb n! P(n,k) = ¾¾ bbbbbbb (n-k)!

P(n,n) = n!
P(n,1) = n
P(n,0) = 1
P(n,k) = n . (n-1) . (n-2) . . . . . . (n-k+1)

Örnek

4 Japon, 3 Fransız ve 5 Türk iş adamı bir sırada ;

• Kaç farklı şekilde otururlar?
• Aynı milletten olan iş adamları kaç farklı dizilir?
• Japonların hepsi yanyana olmak üzere kaç değişik şekilde sıralanır?
• En çok 2 Fransız yanyana olacak şekilde kaç farklı sıralanış yapılır?

• 4 + 3 + 5 = 12 iş adamı 12! kadar farklı sıralanır.
  
  
• 4 Japon kendi aralarında..................... 4! kadar farklı sıralanır.
  3 Fransız kendi aralarında.................. 3! kadar farklı sıralanır.
  5 Türk kendi aralarında...................... 5! kadar farklı sıralanır.
  3 Millete ait iş adamları ..................... 3! kadar farklı sıralanır.
  ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
  bbbbbbbbbbs o n u ç : bbbb4! . 3! . 5! . 3! kadar dizilirler.
  
  
• 4 Japon'u sanki bir kişiymiş gibi düşünürsek; 1 kişi + 3 Fransız + 5 Türk = 9 kişi olurlar.
  yani 9! kadar sıralanırlar. Japonların da kendi aralarında 4! kadar sıralanacaklarını düşünürsek, sonuç olarak;
  9! x 4! kadar sıralanırlar.
  
  
• En çok 2 Fransız yanyana sıralanması demek, 3 Fransız yanyana olmasın demekle aynı anlamda olup;
  
  En çok 2 Fransız yanyana : Hepsinin yanyana oturması - 3 Fransızın yanyana oturması
  bbbbbbbbbbs o n u ç : 12 ! - 3! .10! = 10! ( 11. 12 - 3! ) = 10! . 126 bulunur.

Tekrarlı Permütasyon

k, l, m, n, , , , , x Î Z⁺ ; bbbbbb k + l + m + n + . . . . . .+ z = n
ve n elemandan k tanesi aynı, l tanesi aynı, . . . . . z tanesi aynı olmak üzere elde edilen permütayon sayısı;

n! bbbbb ¾¾¾¾¾ olur. k! . l! . . . . .z!

bbbbb

Ö R N E K

Tüm harfler : 6 tane , A harfi : 3 tane, T harfi : 1 tane, K harfi : 1 tane, N harfi : 1 tane

6! bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb ¾¾¾¾¾ = 120 kelime yazılabilir. 3! . l! .1! 1!

Dönel Permütasyon

n elemanlı bir topluluğun daire şeklinde sıralanma biçimidir. Bu dizilişte önce 1 kişi yerleşir, daha sonra diğer (n-1) kişi onun yanına dizilirler. Bu na Dairesel Permütasyon da denir. Bu şekilde dizilişin sayısı; (n-1)! dir.

Ö R N E K

(4-1)! = 3! = 1.2.3 = 6 değişik şekilde sıralanırlar.

Ö R N E K

Tüm harfler : 6 tane , A harfi : 3 tane, T harfi : 1 tane, K harfi : 1 tane, N harfi : 1 tane

6! bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb ¾¾¾¾¾ = 120 kelime yazılabilir. 3! . l! .1! 1!

Dönel Permütasyon

n elemanlı bir topluluğun daire şeklinde sıralanma biçimidir. Bu dizilişte önce 1 kişi yerleşir, daha sonra diğer (n-1) kişi onun yanına dizilirler. Bu na Dairesel Permütasyon da denir. Bu şekilde dizilişin sayısı; (n-1)! dir.

Ö R N E K

(4-1)! = 3! = 1.2.3 = 6 değişik şekilde sıralanırlar

4 kişi yuvarlak masa etrafına kaç türlü dizilirler?

ATAKAN kelimesinin haflerinden anlamlı anlamsız kaç değişik 6 harfli kelime yazılabilir?4 kişi yuvarlak masa etrafına kaç türlü dizilirler?ATAKAN kelimesinin haflerinden anlamlı anlamsız kaç değişik 6 harfli kelime yazılabilir?
Birler basamağına 1, 3, 5 geleceğinden 3 farklı seçim yapılır. Kümede 0 olduğundan yüzler basamağına 0 ve 1, 3, 5'den birisi yazılamayacağından; 6 - 2 = 4 farklı seçim ve nihayet onlar basamağına da 5 - 1 = 4 farklı seçim yapılacağından sonuç;
3 x 4 x 4 = 48 tane tek sayı bulunur.



tane sayı yazılabilir.

yüzler

onlar

birler

5 tane

4 tane

(sıfır) olması

4 tane "0" hariç

4 tane

(iki) olması

4 tane "0" hariç

4 tane

(dört) olması

Toplam Sayı Adedi = Tek Sayı Adedi + Çift Sayı Adedi
bbbbbbbbbbbb100 = bbbb 48 bbbbb + Çift Sayı Adedi

yüzler

onlar

birler

2 tane { 1, 2 }

5 tane

4 tane

Toplam 16 + 12 + 12 = 50 tane 200'den büyük çift sayı yazılabilir.

yüzler

onlar

birler

4 tane

4 tane

(sıfır) olması

3 tane "0" hariç

4 tane

(iki) olması

3 tane "0" hariç

4 tane

(dört) olması

Toplam 20 + 16 = 36 tane 5' ile bölünebilen sayı yazılabilir.sayı yazılabilir.

yüzler

onlar

birler

5 tane

4 tane

(sıfır) olması

4 tane "0" hariç

4 tane

(beş) olması

tane 25' ile bölünebilen sayı yazılabilir.sayı yazılabilir.

yüzler

onlar

birler

3 tane

(iki) olması

(beş) olması

4 tane "0" hariç

(beş) olması

(sıfır) olması

bbbbbbbbbbbbbbb = 5 x 6 x 6 - 100 - 5 {111, 222, 333, 444, 555}
bbbbbbbbbbbbbbb = 75 tane iki rakamı aynı olan sayı bulunur.

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesi elemanlarından, rakamları tekrarsız kaç tane üç basamaklı;

• Farklı sayı
• Tek Sayı
• Çift sayı
• 300'den küçük sayı
• 200'den büyük çift sayı
• 5 ile bölünebilen sayı
• 25 ile bölünebilen sayı
• İki rakamı aynı olan sayı yazılabilir?

10 kişilik bir ekipten önce bir ekip başı daha sonra yardımcısı kaç değişik şekilde seçilir?

Şekilde, A kentinden B, C ve D kentine gidiş yolları gösterilmiştir.

• A 'dan D 'ye kaç değişik yoldan gidiş dönüş yapılır?
• A 'dan D 'ye gidilip tekrar dönüş yapıldığında, dönüşte, gidişteki yol kullanılmamak koşuluyla kaç değişik gidiş dönüş yapılabilir?