ads

28 Şubat 2009 Cumartesi

Polinomlar Testi ve çözümleri - Matematik Çözümlü Sorular

Soru 01

 

P(x) = x17 + 2 x16 + 3 x12 + 6 x8 - 4x3 + 5 x - 4     Polinomunun     ( x3 + 1 )     ile bölünmesinden kalan kaçtır?

A) 1     B) 2     C) 3     D) 4     E) 5

ÇÖZÜM

x3 + 1 = 0    =>    x3 = - 1    x = -1    =>    P(x) polinomunda    x = -1    koyarasak;

P(-1) = (-1)17 + 2 (-1)16 + 3 (-1)12 + 6 (-1)8 - 4 (-1)3 + 5 (-1) - 4

P(-1) = -1 + 2 + 3 + 6 + 4 - 5 - 4    =>    P(-1) = 5 bulunur.

bbbbYANIT : C

Soru 02

 

P(x-3) = 3x2 - 7x + 6     verildiğine göre,     P(x) polinomunun     (x+1)     ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1     B) 2     C) 3     D) 4     E) 5

ÇÖZÜM

x + 2 = 0    =>    x = - 2   

P(x) = 3 (x+3)2 - 7 (x+3) + 6       { (x-3)'ün tersini polinomda "x" yerine koyduk. }
P(-2) = 3 (-2+3)2 - 7 (-2+3) + 6    =>    P(-2) = 3 - 7 + 6 = 2 bulunur.

bbbbYANIT : B

Soru 03

 

P(x) = 3 xn + 2 x2n+1 -3 xn+2 - a x2 + 5 x - 4     Polinomunun     ( x - 1 )     ile bölünmesinden kalan ( -2 ) olduğuna göre;     a = ?

A)2     B) 3     C) 4     D) 5     E) 6

ÇÖZÜM

x - 1 = 0    =>    x = 1    demek ki;    P(1) = -2    miş.    P(1)'i yaratalım,

P(1) = 3 . 1 + 2 . 1 - 3 . 1 - a . 1 + 5 . 1 - 4 = -2    =>    3 + 2 - 3 - a + 5 - 4 = -2    =>    a = 5     bulunur.

bbbbYANIT : D

Soru 04

 

P(x) = x5 - 2 x4 + x3 + 3 x2 + a x + 4     Polinomunun     ( x - 2 )     ile bölünmesinden kalan kaçtır?

A) 2a + 22     B) 2a + 16     C) 2a + 18     D) 2a + 24     E) 2a + 20

ÇÖZÜM

x - 2 = 0    =>    x = 2    demek ki;    P(2) = ?       P(2)'i yaratalım,

P(2) = 32 - 32 + 8 + 12 + 2a + 4    =>    P(2) = 2a + 24     bulunur.

bbbbYANIT : D

Soru 05

 

P(x) = 2 x4 + a x3 + b x2 + x + 6     Polinomunun     çarpanlarından ikisi     ( x - 2 )     ( x + 1 )     ise     a = ?

A) -5     B) -4     C) -3     D) -2     E) -1

ÇÖZÜM

( x - 1 ) ve ( x - 2 ) , P(x)'in çarpanları ise, kalan "sıfır" dır. Bunları ayrı ayrı sıfıra eşitlersek;     x - 1 = 0    =>   

x = 1    demek ki;    P(1) = 0     ve     x - 2 = 0    =>    x = 2       P(2) = 0 bulunur.

   P(1) ve    P(2) leri yaratalım.    =>   

   2 . 16 + a . 8 + b . 4 + 2 + 6 = 0

   2 . 1 + a . (-1) + b . 1 - 1 + 6 = 0      yazılıp    =>    bu iki denklem çözülürse,     a = -1    bulunur. bbbbYANIT : E

Soru 06

 

P(x) = x3 + x2 + 3 x + m     Polinomunun     bir çarpanı     ( x + 2 )     ise     m = ?

A) 6     B) 8     C) 10     D) 12     E) 14

ÇÖZÜM


Bir polinomun çarpanı verildiğinde,     "çarpan = 0"     yapılıp bulunan "x" değeri P(x) polinomunda yerine konulduğunda, ifade "sıfır" 'a eşit olur.

x + 2 = 0    =>    x = -2

P(-2) = (-2)3 + (-2)2 + 3 (-2) + m = 0    =>    P(-2) = - 8 + 4 - 6 + m = 0    =>    m = 10    bulunur.

bbbbYANIT : C

Soru 07

 

Bir P(x) polinomu,     ( x - 1 )     ile bölündüğünde (-1) kalanını ve ( x + 2 )     ile bölündüğünde (2) kalanını veriyor. Aynı P(x) polinomu     ( x - 1 ) . ( x + 2 )     çarpımı ile bölündüğünde hangi kalanı verir?

A) -x     B) x     C) x + 1     D) -x + 1     E) x - 2

ÇÖZÜM

P(x) = ( x - 1 ) . Q(x) + ( -1 )    =>    P(1) = -1 dir.

P(x) = ( x + 2 ) . Q'(x) + ( 2 )    =>    P(1) = 2 dir.
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
P(x) = ( x - 1 ) ( x + 2 ) . Q''(x) + (Ax + B)    =>    olsun.


P(x)'de "x" yerine ( 1 ve -2 ) değerlerini koyarsak;

   A .1 + B = -1    ®     A + B = -1
A . (-2) + B = 2      ®     -2A + B = 2
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Bu iki denklemin ortak çözümü sonucu;     A = -1    ve    B = 0     bulunur.
kalan     Ax + B     idi. Sonuç : -x + 0    =>    x    bulunur.

bbbbYANIT : A

Soru 08

 

P(x) = 2 x4 + a x3 + b x2 + x +6     Polinomu     bir çarpanı     ( x + 1 )     ile     tam olarak bölündüğüne göre,     a - b     farkı kaçtır?

A) 4     B) 5     C) 6     D) 7     E) 8

ÇÖZÜM

Tam olarak bölünebiliyor demek; kalan SIFIR demektir.    x + 1 = 0    =>    x = -1

P(-1) = 2 . 1 + a . (-1) + b . 1 - 1 + 6 = 0    =>    2 - a + b + 5 = 0    =>    a - b = 7    =>    bulunur. bbbbYANIT : D

Soru 09

 

    6 ( x + 2y )2 + ( x + 2y ) - 15     ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x + 6y + 5     B) 3x - 2y - 3     C) x + 2y + 5     D) 2x + 4y + 5     E) 2x + 4y + 3

ÇÖZÜM

 
6 ( x + 2y )2 + ( x + 2y ) - 15

½ bbbbbbbbbbbbbbbbb½
2 (x + 2y )bbbbbbbbbbbb- 3
3 (x + 2y )bbbbbbbbbbbbb 5
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
10 ( x + 2y ) - 9 ( x + 2y ) = ( x + 2y )     { Ortadaki terimi verdi }
[ 2 . ( x + 2y ) - 3 ] . [ 3 . ( x + 2y ) + 3 ] yazılır.    =>    [ 2x + 4y - 3 ] . [3x + 6y + 5 ]    olur.
 
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb ¾¾¾¾¾¾
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb Ç Ö Z Ü M

bbbbYANIT : A

Soru 10

 

    x2 (x+5) + 2x (x+5) + x + 5     ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x - 5     B) x + 1     C) 2 x + 5     D) x - 1     E) x + 3

ÇÖZÜM

 
x2 (x + 5 ) + 2x ( x + 5 ) + x + 5     'i önce     ( x + 5 )     parantezine alalım.
( x + 5 ) ( x2 + 2x + 1 ) = ( x + 5 ) ( x + 1 ) ( x + 1 )     sonuç olarak çarpanlarından biri     ( x + 1 )     bulunur


bbbbYANIT : B

Soru 11

 

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : A

Soru 12

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : A

Soru 13

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : C

Soru 14

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : B

Soru 15

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : A

Soru 16

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : C

Soru 17

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : C

Soru 18

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : D

Soru 19

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT :B

Soru 20

 

ÇÖZÜM



bbbbYANIT : C

27 Şubat 2009 Cuma

Permütasyon ve Faktöriyel konusu - Binom açılımı

. PERMÜTASYON A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

B. FAKTÖRİYEL
1den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
Ü n! = n . (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.

C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
Ü 1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir.

D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + ... + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı :
II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.
Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan
tane üçgen çizilebilir.
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.
Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
tane paralelkenar oluşur.
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır.
III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
sayılarına binomun katsayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir.
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim IMG]http://www.matematikci.org/oss/cebir/23c_dosyalar/cep_ma269.gif[/IMG]
sondan (r + 1). terim IMG]http://www.matematikci.org/oss/cebir/23c_dosyalar/cep_ma270.gif[/IMG]
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim
Ü n Î IN+ olmak üzere,
(xm + )n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
x = 0 ve y = 0 yazılır.
Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak . br . cm li terimin katsayısı;

Fonksiyonun Türevi - Türevde Dört işlem - Türevin Geometrik Anlamı

Tanım:

  Bir f(x) fonksiyonu verildiğinde;
 
buna, f(x) fonksiyonunun x = xo daki türevi denir ve f'(xo) olarak gösterilir yani,





 

örnek: y = x3 fonksiyonunun türevini bulalım.





 

>örnek: y = 32x fonksiyonunun türevini bulalım.





 

örnek: y = sinx fonksiyonunun türevini bulalım.

y=f(x) = sinx      f( x + D x) = sin( x + D x)




 

 

Sağdan - Soldan Türev


 

Bir f(x) fonksiyonunda x = xo    için,
 


Bu gösteriliş, 0'a pozitif değerlerden küçülerek yaklaşma olarak ifade edilir.



Bu gösteriliş, 0'a negatif değerlerden büyüyerek yaklaşma olarak ifade edilir.
 


Eğer, f'+(xo) = f'-(xo) ise, f(x)'in x = xo da türevi vardır denir.

 



 

 

Türevin Geometrik Anlamı



 

Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktasındaki türevi, o noktadaki teğetinin eğimine yani teğetin x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eşittir.

tana = teğet eğimi ( m ) = f ' ( xo )


 

 

Türevin Temel Özellikleri


f(x) = [ f1(x) + f2(x) + ------- + fn(x) ] verildiğinde,    f(x)' = [ f1(x) + f2(x) + ------- + fn(x) ]'    => f(x)' = [ f1'(x) + f2'(x) + ------- + fn'(x) ] dir.
Bir toplamın türevi, ayrı ayrı türevlerin toplamına eşittir.

y = g(x).h(x) ise,    y' = g'(x).h(x) + h'(x).g(x) dir. (Çarpımın türevi)




 


 

 

Bileşke Fonksiyonun Türevi

f, g türevleri alınabilen iki fonksiyon ise;
(fog)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)        -        (gof)'(x) = g'(f(x)) . f '(x)

 



 

örnek: f(2x+1) = 2x2 - 10x     f '(1) + f(1) = ?
  f ' (2x+1) . (2x+1) = 4x - 10              f (2.0+1) = 2 . 02 - 10 . 0    f(1) = 0
          2 . f ' (2x+1) = 4x - 10         
          2 . f (2.0+1) = 4 . 0 - 10
                     f '(1) = 5      => f '(1) + f(1) = -5 bulunur.


 

 

Parametrik Fonksiyonun Türevi

y = f(x) olmak üzere    x = f(t) ve y = f(t)    fonksiyonlarına "t" parametresine göre, x ve y fonksiyonları olarak adlandırılır. y'nin x'e göre türevi ise;

 

 

örnek: x = cos q      y = sin q ise      dy / dx      ifadesini bulunuz.
          dy / dq = cos q      dx / dq = - sin q           dy / dx = ( cosq / - sin q ) = - cot q      bulunur.


 

 

Türevde Zincir Kuralı (chain Rule)


 

örnek:     f:R -> R     x -> y   = f(x) = x2 + 5        g:R -> R     y -> u  = g(y) = 2y2 - 5     =>     du/dx = ?

    du/dx = (du/dy) / (dy/dx) = (4y) . (2x) = 8x . ( x2 + 5 )     bulunur.


 

 

Ters Fonksiyon Türevi


 

örnek:     y = f(x) = x5 - 6    (1-1) ve örten fonksiyon olsun.        ( f -1 ) ( 26 ) = ?

    26 = x5 - 6    =>     x5 = 32    =>     x = 2     bulunur.     f ' (x) = 5 . x4    =>     f ' (2) = 80    =>    ( f -1 ) ( 26 ) = ( 1 / f ' (2) ) = 1 / 80    bulunur.


 

 

Kapalı Fonksiyon Türevi

y = f(x) olmak üzere, F(x,y) = 0 ifadesine f fonksiyonunun kapalı ifadesi denir.

 

 

örnek:     sin ( x/y ) + y3 x2 = x        fonksiyonunun türevini bulunuz.     ( y = f(x) )


 
y ' = ( x2 - x ) . cos ( x2 - x )    =>    ( 2x-1 ) . cos ( x2 - x )    =>    (2.0-1) . cos(02-0) = -1 . cos 0°    =>    -1    bulunur.



 

 

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

 

 

 

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

y = sin f(x)y ' = f '(x) . cos f(x)
y = cos f(x)y ' = - f '(x) . sin f(x)
y = tan f(x)y ' = f '(x) . ( 1 + tan2 f(x) )
y ' = f ' (x) . sec2 f(x)
y ' = f ' (x) / cos2 f(x)
y = cot f(x)y ' = - f '(x) . ( 1 + cot2 f(x) )
y ' = - f ' (x) . cosec2 f(x)
y ' = - f ' (x) / sin2 f(x)

örnek:     sin ( x2 - x )     fonksiyonunun x = 0' daki türevi nedir?

ads2