Fonksiyonun Türevi - Türevde Dört işlem - Türevin Geometrik Anlamı

Tanım:

  Bir f(x) fonksiyonu verildiğinde;
 

buna, f(x) fonksiyonunun x = xo daki türevi denir ve f'(xo) olarak gösterilir yani,

 

örnek: y = x³ fonksiyonunun türevini bulalım.

 

>örnek: y = 3^2x fonksiyonunun türevini bulalım.

 

örnek: y = sinx fonksiyonunun türevini bulalım.

y=f(x) = sinx      f( x + D x) = sin( x + D x)




 

 

Sağdan - Soldan Türev

 

Bir f(x) fonksiyonunda x = x_o    için,
 

Bu gösteriliş, 0'a pozitif değerlerden küçülerek yaklaşma olarak ifade edilir.



Bu gösteriliş, 0'a negatif değerlerden büyüyerek yaklaşma olarak ifade edilir.
 

Eğer, f'₊(x_o) = f'_-(x_o) ise, f(x)'in x = x_o da türevi vardır denir.

 

 

 

Türevin Geometrik Anlamı

 

Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktasındaki türevi, o noktadaki teğetinin eğimine yani teğetin x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eşittir.

tana = teğet eğimi ( m ) = f ' ( xo )

 

 

Türevin Temel Özellikleri

f(x) = [ f₁(x) + f₂(x) + ------- + f_n(x) ] verildiğinde,    f(x)' = [ f₁(x) + f₂(x) + ------- + f_n(x) ]'    => f(x)' = [ f₁'(x) + f₂'(x) + ------- + f_n'(x) ] dir.
Bir toplamın türevi, ayrı ayrı türevlerin toplamına eşittir.

y = g(x).h(x) ise,    y' = g'(x).h(x) + h'(x).g(x) dir. (Çarpımın türevi)




 

 

 

Bileşke Fonksiyonun Türevi

f, g türevleri alınabilen iki fonksiyon ise;

(fog)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)        -        (gof)'(x) = g'(f(x)) . f '(x)

 

 

örnek: f(2x+1) = 2x² - 10x     f '(1) + f(1) = ?
  f ' (2x+1) . (2x+1) = 4x - 10              f (2.0+1) = 2 . 0² - 10 . 0    f(1) = 0
          2 . f ' (2x+1) = 4x - 10         
          2 . f (2.0+1) = 4 . 0 - 10
                     f '(1) = 5      => f '(1) + f(1) = -5 bulunur.


 

 

Parametrik Fonksiyonun Türevi

y = f(x) olmak üzere    x = f(t) ve y = f(t)    fonksiyonlarına "t" parametresine göre, x ve y fonksiyonları olarak adlandırılır. y'nin x'e göre türevi ise;

 
 

örnek: x = cos q      y = sin q ise      dy / dx      ifadesini bulunuz.
          dy / dq = cos q      dx / dq = - sin q           dy / dx = ( cosq / - sin q ) = - cot q      bulunur.


 

 

Türevde Zincir Kuralı (chain Rule)

 

örnek:     f:R -> R     x -> y   = f(x) = x² + 5        g:R -> R     y -> u  = g(y) = 2y² - 5     =>     du/dx = ?

    du/dx = (du/dy) / (dy/dx) = (4y) . (2x) = 8x . ( x² + 5 )     bulunur.


 

 

Ters Fonksiyon Türevi

 

örnek:     y = f(x) = x⁵ - 6    (1-1) ve örten fonksiyon olsun.        ( f ^-1 ) ( 26 ) = ?

    26 = x⁵ - 6    =>     x⁵ = 32    =>     x = 2     bulunur.     f ' (x) = 5 . x⁴    =>     f ' (2) = 80    =>    ( f ^-1 ) ( 26 ) = ( 1 / f ' (2) ) = 1 / 80    bulunur.


 

 

Kapalı Fonksiyon Türevi

y = f(x) olmak üzere, F(x,y) = 0 ifadesine f fonksiyonunun kapalı ifadesi denir.

 
 

örnek:     sin ( x/y ) + y³ x² = x        fonksiyonunun türevini bulunuz.     ( y = f(x) )


 y ' = ( x² - x ) . cos ( x² - x )    =>    ( 2x-1 ) . cos ( x² - x )    =>    (2.0-1) . cos(0²-0) = -1 . cos 0°    =>    -1    bulunur.



 

 

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

 

 

 

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

y = sin f(x)	y ' = f '(x) . cos f(x)
y = cos f(x)	y ' = - f '(x) . sin f(x)
y = tan f(x)	y ' = f '(x) . ( 1 + tan2 f(x) ) y ' = f ' (x) . sec2 f(x) y ' = f ' (x) / cos2 f(x)
y = cot f(x)	y ' = - f '(x) . ( 1 + cot2 f(x) ) y ' = - f ' (x) . cosec2 f(x) y ' = - f ' (x) / sin2 f(x)

örnek:     sin ( x² - x )     fonksiyonunun x = 0' daki türevi nedir?