ads

27 Şubat 2009 Cuma

Üçgen nedir - Üçgen çeşitleri - Üçgen Konusunda Çözümlü Örnekler

Tanım:

Doğrusal olmayan iki noktanın ikişer ikişer birleşimine Üçgen denir.

Bir üçgende, 3 iç açı, 3 dış açı, 3 kenar, 3 yükseklik, 3 kenarortay, 3 iç açıortay, 3dış açıortay, 1 iç teğet çemberi, 1 çevrel çember,

3 dış teğet çember bulunur.



 

Üçgenin esas elemanları : İç açılar ve Kenarlar

Üçgenin yardımcı elemanları : Dış açılar, Yükseklikler, Açıotaylar, Kenarortaylar


 
ÜÇGENLER
  1. Kenarlarına göre
    1. İkizkenar
    2. Eşkenar
    3. Çeşitkenar
  2. Açılarına göre
    1. Dar açılı
    2. Dik açılı
    3. Geniş açılı
     


 

Tanım ve Aksiyomlar

  • Üçgende, iç açıların toplamı  180°  dir
  • Üçgende,dış açıların toplamı  360°  dir
  • Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
  • Bir üçgende kenarortayların kesim noktası, üçgenin   AĞIRLIK MERKEZİ  dir
  • Bir üçgende yüksekliklerin kesim noktası, üçgenin   DİKLİK MERKEZİ (Ortosantır)  dir

Üçgende açı-kenar ilişkisi

  • Büyük açı karşısında büyük kenar / büyük kenar karşısında büyük açı bulunur.
  • Küçük açı karşısında küçük kenar / küçük kenar karşısında küçük açı bulunur.
  • Eşit açı karşısında eşit kenar / eşit kenar karşısında eşit açı bulunur.
  • Bir üçgende kenarlar a, b ve c ise :
    1. |b - c|  <  a   <   b + c
    2. |a - b|  <  c   <   a + b
    3. |a - c|  <  b   <   a + c

  • İki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen  diğer kenara  taban  , tabandaki 2 açıya taban açıları , tabanın karşı köşesine tepe  , ve buradaki açıya da  tepe açısı   denir.
  • Taban açıları eştir.
  • Tabana ait yükseklik üçgenin simetri ekseni olup hem açıortay hem de kenarortay dır.
  • Eş kenarlara ait yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar birbirlerine eştir.
  • İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan bir noktanın eş kenarlara uzaklıkları   toplamı   , eş kenarlara ait yüksekliklerden birinin uzunluğuna eşittir. Taban üzerinde alınan nokta üçgenin dış bölgesinde ise, bu noktanın eş kenarlara uzaklıkları   farkı   da eş kenarlara ait yüksekliklerden birinin uzunluğuna eşittir.
  • İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan noktadan eş kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları  toplamı   , üçgenin eş kenarlarından birinin uzunluğuna eşittir.
  • İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan noktadan tabana çıkılan dikmenin diğer iki kenarı (birini kendi üzerinde diğerini uzantısında) kestiği noktalara uzaklıkları toplamı sabit olup Tabana ait  yüksekliğinin iki katına  eşittir.
  •  

    İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

  • Üç kenarı eş olan üçgene eşkenar üçgen  denir.
  • İç açıları birbirine eş olup, 60'ar derecedir.
  • Dış açıları birbirine eş olup, 120'şerderecedir.
  • Her köşeden çizilen yükseklik, kenarortay ve iç açıortay çakışık olup birbirlerine eşittir.
  • Diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi, çevrel çemberin merkezi ve ağırlık merkezi aynı nokta olup, yüksekliklerin kesim noktasıdır.
  • Her bir yükseklik bir simetri eksenidir.
  • Bir kenarı "a" olan eşkenar üçgende, yükseklik, çevre ve alan;
     

     
  • Çevrel çemberin yarıçapı "R", iç teğet çemberin yarıçapı "r" ve yükseklik "h" ise;
     

     
  • Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının biri üzerinde alınan bir noktanın, üçgenin bütün kenarlarına uzaklıkları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
     
  • Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının biri üzerinde alına herhangi bir noktadan, üçgenin tüm kenarlarına çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin bir kenarına eşittir.
     
  • Bir eşkenar üçgenin bir kenarı üzerinde alınan herhangi bir noktanın, bu noktadan o kenara çıkılan dikmenin diğer iki kenarı (biri kendi diğeri uzantısında) kestiği noktalara uzaklıkları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğinin iki katına eşittir.
     
  • Eşkenar üçgenin kenarlarından birini taşıyan doğru üzerindeve üçgenin dış bölgesinde alınan herhangi bir noktanın, diğer iki kenara uzaklıkları farkı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
     
  •  

    EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

  • Bir iç açısı   90°  oln üçgene  DİK ÜÇGEN  denir.
  • Bir dik üçgende, dik açının karşı kenarı  HİPOTENÜS  diğer kenarlar  DİKKENARLAR  diye adlandırılır.
  • PİSAGOR Bağıntısı :  Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer kenarlarının kareleri toplamına eşittir.

     
  • PİSAGOR bağıntısı ve Trigonometrik çalışmalar sonucu aşağıdaki özel dik üçgenleri buluruz.

     
  • ÖKLİT Bağıntısı-1 :  Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. (yükseklik, ayırdığı parçaların GEOMETRİK ORTASI dır.)
  • ÖKLİT Bağıntısı-2 :  Bir dik üçgende dik kenarların kareleri, izdüşümleri ile hipotenüsün çarpımına eşittir. (Dik kenarlar, hipotenüs ile üzerideki izdüşümlerin GEOMETRİK ORTASI dır.)
  • Bir dik üçgende Hipotenüse ait yüksekliğin karesinin çarpmaya göre tersi, diğer kenarlarının çarpmaya göre terslerinin toplamına eşttir.

     
  • Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
  • Bir dik üçgende, dik kenarlara ait kenarortayların uzunlukları kareleri toplamı, kenarortayın uzunluğunun karesinin beş katına eşittir.
     
    5 Va2  =  Vb2  +   Vc2
  • CEVA Teoremi :   Bir (ABC) üçgeninin iç bölgesinde alınan herhangi bir   P   noktasını üçgenin köşelerine birleştiren doğrular karşı kenarları sırasıyla, A' , B' ve C' noktalarında keserse,

     
  • MENELAUS Teoremi :   Bir d doğrusu bir (ABC) üçgeninin [AB] ve [AC] kenarlarını sırasıyla C ' , B ' noktalarında ve [BC] kenarını A ' noktasında keserse;


     
  • STEWART Teoremi :   Şekildeki (ABC) üçgeninde |AD| = x , |AC| = b , |BC| = A , |AB| = c , |DC| = n , |BD| = m olmak üzere; aşağıdaki bağıntı yazılabilir  .


     
  • I. THALES Teoremi :   Birtakım paralel doğrular kendilerini kesen her doğru üzerinde orantılı parçalar ayırırlar. Şekilde görüldüğü gibi, d , d ' , d '' paralel doğrularını L ve L ' kesenleri A,B,C,D,E,F noktalarında keserse;


     
  • II. THALES Teoremi :   Birtakım paralel doğrular kendilerini kesen her doğru üzerinde orantılı parçalar ayırırlar. Şekilde görüldüğü gibi, d , d ' , d '' paralel doğrularını L ve L ' kesenleri A,B,C,D,E,F noktalarında keserse;


     
  • AÇIORTAY Teoremi (iç açıortay - dış açıortay) :  Şekilde görüldüğü üzere, (ABC) üçgeninde, A açısına ait iç açıortay [AN] ve dış açıortay [MA] ise;


     
  • KENARORTAY Teoremi :   Aşağıda gösterilen (ABC) üçgeninde, a, b ve c kenarlarına ait kenarortaylar sırasıyla; Va , Vb ve Vc ise;
     
  •  

    DİK ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ



 

  Üçgenlerde Kenarortay Özellikleri
   Bir üçgende kenarortaylar, ait oldukları kenarları iki eş paçaya bölmekle beraber, üçgenin Ağırlık Merkezi denilen bir noktada kesişirler.
   Bu nokta G ile göterilir. Ağırlık merkezinin köşelere uzaklıkları, kenarlara uzaklıklarının iki katıdır.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

Yorum Gönder

ads2