Üçgen nedir - Üçgen çeşitleri - Üçgen Konusunda Çözümlü Örnekler

Tanım:

Doğrusal olmayan iki noktanın ikişer ikişer birleşimine Üçgen denir.

Bir üçgende, 3 iç açı, 3 dış açı, 3 kenar, 3 yükseklik, 3 kenarortay, 3 iç açıortay, 3dış açıortay, 1 iç teğet çemberi, 1 çevrel çember,

3 dış teğet çember bulunur.

 

Üçgenin esas elemanları : İç açılar ve Kenarlar

Üçgenin yardımcı elemanları : Dış açılar, Yükseklikler, Açıotaylar, Kenarortaylar

 

ÜÇGENLER Kenarlarına göre İkizkenar Eşkenar Çeşitkenar Açılarına göre Dar açılı Dik açılı Geniş açılı

 

Tanım ve Aksiyomlar

• Üçgende, iç açıların toplamı  180°  dir
• Üçgende,dış açıların toplamı  360°  dir
• Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Bir üçgende kenarortayların kesim noktası, üçgenin   AĞIRLIK MERKEZİ  dir
• Bir üçgende yüksekliklerin kesim noktası, üçgenin   DİKLİK MERKEZİ (Ortosantır)  dir

Üçgende açı-kenar ilişkisi

• Büyük açı karşısında büyük kenar / büyük kenar karşısında büyük açı bulunur.
• Küçük açı karşısında küçük kenar / küçük kenar karşısında küçük açı bulunur.
• Eşit açı karşısında eşit kenar / eşit kenar karşısında eşit açı bulunur.
• Bir üçgende kenarlar a, b ve c ise :

  |b - c|  <  a   <   b + c |a - b|  <  c   <   a + b |a - c|  <  b   <   a + c

• İki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen  diğer kenara  taban  , tabandaki 2 açıya taban açıları , tabanın karşı köşesine tepe  , ve buradaki açıya da  tepe açısı   denir.
• Taban açıları eştir.
• Tabana ait yükseklik üçgenin simetri ekseni olup hem açıortay hem de kenarortay dır.
• Eş kenarlara ait yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar birbirlerine eştir.
• İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan bir noktanın eş kenarlara uzaklıkları   toplamı   , eş kenarlara ait yüksekliklerden birinin uzunluğuna eşittir. Taban üzerinde alınan nokta üçgenin dış bölgesinde ise, bu noktanın eş kenarlara uzaklıkları   farkı   da eş kenarlara ait yüksekliklerden birinin uzunluğuna eşittir.
• İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan noktadan eş kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları  toplamı   , üçgenin eş kenarlarından birinin uzunluğuna eşittir.
• İkizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan noktadan tabana çıkılan dikmenin diğer iki kenarı (birini kendi üzerinde diğerini uzantısında) kestiği noktalara uzaklıkları toplamı sabit olup Tabana ait  yüksekliğinin iki katına  eşittir.

 

İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

• Üç kenarı eş olan üçgene eşkenar üçgen  denir.
• İç açıları birbirine eş olup, 60'ar derecedir.
• Dış açıları birbirine eş olup, 120'şerderecedir.
• Her köşeden çizilen yükseklik, kenarortay ve iç açıortay çakışık olup birbirlerine eşittir.
• Diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi, çevrel çemberin merkezi ve ağırlık merkezi aynı nokta olup, yüksekliklerin kesim noktasıdır.
• Her bir yükseklik bir simetri eksenidir.
• Bir kenarı "a" olan eşkenar üçgende, yükseklik, çevre ve alan;
   
   
• Çevrel çemberin yarıçapı "R", iç teğet çemberin yarıçapı "r" ve yükseklik "h" ise;
   
   
• Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının biri üzerinde alınan bir noktanın, üçgenin bütün kenarlarına uzaklıkları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
   
• Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının biri üzerinde alına herhangi bir noktadan, üçgenin tüm kenarlarına çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin bir kenarına eşittir.
   
• Bir eşkenar üçgenin bir kenarı üzerinde alınan herhangi bir noktanın, bu noktadan o kenara çıkılan dikmenin diğer iki kenarı (biri kendi diğeri uzantısında) kestiği noktalara uzaklıkları toplamı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğinin iki katına eşittir.
   
• Eşkenar üçgenin kenarlarından birini taşıyan doğru üzerindeve üçgenin dış bölgesinde alınan herhangi bir noktanın, diğer iki kenara uzaklıkları farkı sabit olup, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
   

 

EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

• Bir iç açısı   90°  oln üçgene  DİK ÜÇGEN  denir.
• Bir dik üçgende, dik açının karşı kenarı  HİPOTENÜS  diğer kenarlar  DİKKENARLAR  diye adlandırılır.
• PİSAGOR Bağıntısı :  Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer kenarlarının kareleri toplamına eşittir.
   
• PİSAGOR bağıntısı ve Trigonometrik çalışmalar sonucu aşağıdaki özel dik üçgenleri buluruz.
   
• ÖKLİT Bağıntısı-1 :  Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. (yükseklik, ayırdığı parçaların GEOMETRİK ORTASI dır.)
• ÖKLİT Bağıntısı-2 :  Bir dik üçgende dik kenarların kareleri, izdüşümleri ile hipotenüsün çarpımına eşittir. (Dik kenarlar, hipotenüs ile üzerideki izdüşümlerin GEOMETRİK ORTASI dır.)
• Bir dik üçgende Hipotenüse ait yüksekliğin karesinin çarpmaya göre tersi, diğer kenarlarının çarpmaya göre terslerinin toplamına eşttir.
   
• Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
• Bir dik üçgende, dik kenarlara ait kenarortayların uzunlukları kareleri toplamı, kenarortayın uzunluğunun karesinin beş katına eşittir.
    5 V_a²  =  V_b²  +   V_c²
• CEVA Teoremi :   Bir (ABC) üçgeninin iç bölgesinde alınan herhangi bir   P   noktasını üçgenin köşelerine birleştiren doğrular karşı kenarları sırasıyla, A' , B' ve C' noktalarında keserse,
   
• MENELAUS Teoremi :   Bir d doğrusu bir (ABC) üçgeninin [AB] ve [AC] kenarlarını sırasıyla C ' , B ' noktalarında ve [BC] kenarını A ' noktasında keserse;
  
  
   
• STEWART Teoremi :   Şekildeki (ABC) üçgeninde |AD| = x , |AC| = b , |BC| = A , |AB| = c , |DC| = n , |BD| = m olmak üzere; aşağıdaki bağıntı yazılabilir  .
  
  
   
• I. THALES Teoremi :   Birtakım paralel doğrular kendilerini kesen her doğru üzerinde orantılı parçalar ayırırlar. Şekilde görüldüğü gibi, d , d ' , d '' paralel doğrularını L ve L ' kesenleri A,B,C,D,E,F noktalarında keserse;
  
  
   
• II. THALES Teoremi :   Birtakım paralel doğrular kendilerini kesen her doğru üzerinde orantılı parçalar ayırırlar. Şekilde görüldüğü gibi, d , d ' , d '' paralel doğrularını L ve L ' kesenleri A,B,C,D,E,F noktalarında keserse;
  
  
   
• AÇIORTAY Teoremi (iç açıortay - dış açıortay) :  Şekilde görüldüğü üzere, (ABC) üçgeninde, A açısına ait iç açıortay [AN] ve dış açıortay [MA] ise;
  
  
   
• KENARORTAY Teoremi :   Aşağıda gösterilen (ABC) üçgeninde, a, b ve c kenarlarına ait kenarortaylar sırasıyla; V_a , V_b ve V_c ise;
   

 

DİK ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

 

  Üçgenlerde Kenarortay Özellikleri
   Bir üçgende kenarortaylar, ait oldukları kenarları iki eş paçaya bölmekle beraber, üçgenin Ağırlık Merkezi denilen bir noktada kesişirler.
   Bu nokta G ile göterilir. Ağırlık merkezinin köşelere uzaklıkları, kenarlara uzaklıklarının iki katıdır.